Для системы уравнений Эйлера, описывающей установившееся движение идеального политропного газа, рассматривается задача об обтекании тела, поверхность которого известна, в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций. Используются подходы геометрического метода, развиваемого авторами. В первой части работы задача об обтекании заданного тела решается в специальном классе течений, для которого уравнение неразрывности выполняется тождественно. Показано, что класс решений не пуст. Получено одно точное решение. Во второй части статьи рассматривается общий случай стационарных течений идеального политропного газа. Система уравнений Эйлера сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, для которой получено точное решение задачи при заданном на теле давлении. Рассмотрены примеры, демонстрирующие особенности полученных точных решений. Показано, что такие решения позволяют выделять на гладкой обтекаемой поверхности точки, в которых наблюдается обострение, сильные или слабые разрывы