Рассматривается волновое уравнение с функциональным запаздыванием. Производится дискретизация задачи. Приводятся конструкции разностного метода с весами с кусочно-линейной интерполяцией. Конструируется базовый метод с весами с кусочно-кубической интерполяцией. Изучается порядок невязки без интерполяции базового метода и выписываются коэффициенты разложения невязки относительно шагов дискретизации по времени и пространству. Доказывается, что метод с весами с кусочно-кубической интерполяцией сходится с порядком 2 в энергетической норме. Выписывается уравнение для главного члена асимптотического разложения глобальной погрешности базового метода. При определенных предположениях обосновывается законность применения процедуры экстраполяции по Ричардсону, и строится соответствующий численный метод, имеющий четвертый порядок сходимости относительно шагов дискретизации по времени и пространству. Доказывается справедливость формул Рунге практической оценки погрешности. Приводятся результаты численных экспериментов на тестовом примере.