Рассматривается задача о достижимости в топологическом пространстве при ограничениях асимптотического характера. Исследуются свойства весьма общей процедуры, определяющей расширение исходной задачи. Указано, в частности, правило преобразования произвольной схемы расширения (компактификатора) в аналогичную схему со свойством гомеоморфности непрерывного продолжения исходного целевого оператора задачи о достижимости. Показано, как данное правило может быть применено в случае, когда расширение реализуется в пространстве ультрафильтров широко понимаемого измеримого пространства. Данный вариант конкретизируется затем для случая целевого оператора, определенного на невырожденном отрезке вещественной прямой.