Рассматривается задача о достижимости в топологическом пространстве при ограничениях асимптотического характера. Исследуются конструкция расширения, использующая элементы компактификаций, и более общие процедуры с применением обобщенных элементов. Основное внимание уделяется случаю отсутствия точных решений, для которого изучаются условия реализации множества допустимых обобщенных элементов в наросте, возникающем при погружении пространства обычных решений. В частности, указаны условия, обеспечивающие упомянутую реализацию в наросте при использовании (в качестве обобщенных элементов) ультрафильтров широко понимаемых измеримых пространств.