Проект направлен на развитие теории фазовых превращений – теоретическое описание совместного протекания объёмной и направленной кристаллизации, а также создание программных систем для проведения компьютерных симуляций. Конечной целью комплексного математического моделирования является выбор оптимальных режимов реализации и управление процессами кристаллизации для получения материалов с заданными свойствами и микроструктурой. Решение проблемы будет основано на объединении моделей нескольких принципиально разных этапов кристаллизации: образование жизнеспособных зародышей, их последующий рост и агрегирование, их дальнейшее укрупнение, а также рост твёрдой фазы с образованием ветвящихся дендритных кристаллов, ответственных за структуру и свойства материалов. Исследуемые модели станут единой теоретической базой программных комплексов, разработанных в рамках проекта для симуляции кристаллизации вещества при наличии совместного (объёмного и направленного) фазового превращения в метастабильных жидкостях.
Актуальность исследований обусловлена широким применением теории объёмной и направленной кристаллизации в металлургии, химической промышленности, биотехнологической сфере и различных областях прикладной физики. Так, например, динамика метастабильной области двухфазного состояния вещества определяет микроструктуру формирующейся в результате кристаллизации твёрдой фазы материала (например, образование примесных ячеек, слоистой ликвации примеси, переходы между монокристаллической и поликристаллической структурами). Математические задачи, поставленные в настоящем проекте, описывают реальные процессы фазовых переходов, которые осложнены конвективными течениями расплава, процессами зарождения и роста кристаллов в метастабильной области фазового превращения. Математическое моделирование кристаллизации позволяет существенным образом оптимизировать изучаемые процессы, управлять ими и получать материалы с
заданными расчётными характеристиками. Разрабатываемые программные комплексы призваны объединить и систематизировать современные математические модели по отдельным направлениям; разработать на их основе средство для проведения комплексных (многомасштабных) компьютерных симуляций с применением современных алгоритмов. Это позволит верифицировать накопленный задел и вновь разработанные модели по отдельности, а также оценить синергетический эффект от их совместного использования. Развитые в рамках проекта математические модели, а также выведенные на их основе аналитические зависимости и проведённые компьютерные симуляции будут применены для описания реальных экспериментальных данных о росте кристаллов в пересыщенных растворах и переохлаждённых расплавах. Так, например, найденный профиль доли твёрдой фазы в двухфазной области позволит вычислить междендритное расстояние и определить пористость кристаллизующихся материалов. Учёт конвективного тепломассопереноса в жидкой фазе, а также совместного протекания объёмного и направленного фазового превращения является новизной проекта. Научная идея состоит в объединении математических моделей направленной и объёмной кристаллизации, а также модели конвективного тепломассопереноса с теорией кристаллизации в области фазового перехода, которая заполнена растущими элементами твёрдого материала.
Постановка заявленной проблемы заключается в формулировке замкнутой системы интегро-дифференциальных уравнений, граничных и начальных условий для описания задач проекта. Решение сформулированных задач будет основано на многолетнем опыте работы коллектива авторов проекта в данной области, его научном заделе и полученных ранее результатах. Решение задач проекта будет осуществляться с помощью ранее развитых методов и подходов для решения аналогичных моделей структурно-фазового превращения с метастабильной областью, классических аналитических методах решения задач с подвижными границами (методы малого параметра, дифференциальных рядов, интегральных преобразований, седловой точки, теории устойчивости), а также численного моделирования. Программные системы будут реализованы на базе свободного программного обеспечения (OpenFOAM) в качестве базы для создания гибкого (в отношении возможностей для модификации моделей) программного комплекса, позволяющего рассчитывать динамику фазовых переходов для различных конвективных течений (естественная и вынужденная конвекция).