Современный уровень исследований сложных явлений в биологических системах характеризуется переходом от традиционных методов статистической обработки временных рядов к построению и анализу адекватных математических моделей, задаваемых в форме дифференциальных или разностных уравнений. Нелинейный характер функциональных зависимостей в биохимических реакциях, нейро- и популяционной динамике приводит к чрезвычайно разнообразным режимам функционирования и неожиданным сценариям трансформации этих режимов при изменении параметров. При этом исследование биологических систем может быть сведено к анализу аттракторов, их бассейнов притяжения и бифуркаций соответствующих математических моделей. В этих обстоятельствах продвижение в понимании сложных механизмов нелинейных биологических процессов достигается за счет использования последних результатов математической теории бифуркаций. Важно отметить и обратный процесс – неожиданные результаты исследования конкретных биологических моделей мотивируют развитие новых разделов математической теории.
В настоящее время базовые типы динамических режимов и их параметрические деформации, наблюдаемые в детерминированных моделях живых систем, достаточно полно классифицированы и привязаны к адекватным математическим методам бифуркационного анализа. Результаты детерминированной теории динамических моделей, относящихся к разным уровням биологической иерархии, хорошо представлены в известных специализированных монографиях по динамике взаимодействующих популяций (Свирежев, Логофет, Базыкин, Turchin и др.), по моделированию нейронной активности (Izhikevich), по колебательным биохимическим реакциям (Gurel, Goldbeter) , и учебниках (Рубин, Ризниченко, Романовский, Ingalls и др.)
Что касается стохастических моделей биологической динамики, то, несмотря на достаточно большой поток публикаций, их теория еще только формируется.
Присутствие случайных возмущений является неизбежным атрибутом функционирования любой живой системы. Взаимосвязь нелинейности и стохастичности приводит к новым явлениям, не имеющим аналогов в исходных детерминированных моделях: индуцированным шумами переходам, стохастическим бифуркациям, стохастической возбудимости, вызванным шумом трансформациям от порядка к хаосу. Такого сорта стохастические явления обнаруживаются во всех областях биофизики: индуцированная шумом мультимодальность колебательных биохимических реакций, стохастическая возбудимость и генерация берстовых режимов в моделях нейронной активности, вызванные шумом катастрофические сдвиги в экологических системах. Основным инструментом исследования стохастических процессов в моделях живых систем пока является прямое численное моделирование их решений. Этот метод, позволяющий отследить реакцию системы при фиксированных параметрах, становится невообразимо затратным в попытках параметрического анализа. Стремление перейти к аналитическим методам вероятностного описания приводит к необходимости решать уравнения с частными производными Фоккера-Планка-Колмогорова для непрерывных систем и функциональные уравнения Перрона-Фробениуса для дискретных систем. Прямое использование этих уравнений уже в двумерном случае приводит к серьезным техническим трудностям.
В цикле последних работ коллектива участников проекта развивается авторский подход, ориентированный на конструктивный параметрический анализ воздействия случайных возмущений на динамические режимы нелинейных систем с непрерывным и дискретным временем. В основе подхода лежит конструкция функции стохастической чувствительности, позволяющей получить достаточно хорошую аппроксимацию разброса случайных состояний вокруг аттракторов исходных детерминированных моделей.
Целью данного проекта является развитие теории и распространение этого нового авторского подхода на конструктивный вероятностный анализ внутренних биологических механизмов, порождающих широкий круг индуцированных шумом явлений, недавно обнаруженных в нелинейных динамических моделях нейро- и популяционной динамики, кинетики гликолитических реакций, динамического восприятия изображений. Предполагается разработка конструктивных подходов и методов решения общезначимой проблемы предотвращения нежелательных экологических сдвигов.
Планируемые в проекте исследования взаимосвязей между нелинейностью и стохастичностью является актуальным направлением современной математической теории динамики биологических систем, а разработка адекватных универсальных конструктивных методов анализа - прорывным результатом, важным для развития этого междисциплинарного направления, находящегося в фокусе ожиданий общества.
Научная новизна данного проекта состоит в сочетании универсальности разрабатываемого авторского подхода, позволяющего проводить анализ широкого круга стохастических явлений, и креативности в обнаружении новых явлений в конкретных моделях живых систем.
Математической основой этого подхода, мотивированного исследованиями вероятностных феноменов в биосистемах, является планируемые в проекте дальнейшие разработки аппарата аппроксимации стохастических аттракторов, использующего технику функции стохастической чувствительности и метод доверительных областей.
Таким образом, проект направлен на развитие следующих направлений математического моделирования живых систем.
1) Исследование механизмов, лежащих в основе ключевых вероятностных феноменов нейронной активности, таких как стохастическая генерация и подавление возбуждения; индуцированные шумом переходы между режимами покоя, тонического спайкинга и берстинга; вызванная шумом трансформация порядок-хаос.
2) Построение методов анализа стохастических явлений в нелинейных системах взаимодействующих популяций с различными сочетаниями трофических уровней и межвидовых отношений. Разработка вероятностного критерия близости стохастической популяционной системы к опасным границам, переход через которые может привести к экологическим катастрофам. Решение задач управления живыми системами с целью предотвращения нежелательных экологических сдвигов, вызванных случайными факторами.
3) Исследование механизмов стохастической генерации мультимодальных осцилляций в биохимических реакциях с нелинейными связями, моделирующими прямую и обратную активацию и ингибирование.
4) Анализ вероятностных механизмов воздействия случайных возмущений на пространственно-временную самоорганизацию биосистем. Исследование стохастической генерации и трансформации паттернов для концептуальных пространственных моделей живых систем.
5) Построение методов анализа процессов восприятия объектов в условиях случайных помех. Исследование индуцированной шумами альтернации в моделях динамического бистабильного восприятия.
