Цель проекта – систематическое исследование многообразий аддитивно идемпотентных полуколец. В ходе этого исследования основное внимание будет уделено двум аспектам – конечной аксиоматизируемости многообразий (т.е. проблеме конечности базиса тождеств) и строению решетки подмногообразий.
Аддитивно идемпотентное полукольцо – это алгебра типа (2,2), операции которой (сложение и умножение) ассоциативны, сложение коммутативно и идемпотентно, а умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон. Внимание к таким полукольцам мотивируется наличием большого числа естественных примеров, имеющих разнообразные применения в алгебре и за ее пределами. Среди важнейших примеров – в первую очередь, тропические полукольца и полукольца матриц над ними. Эти полукольца служат фундаментом для многих популярных в сегодняшней математике направлений – идемпотентного анализа, тропической геометрии и др.; их роль для этих направлений сопоставима с ролью поля действительных чисел и кольца матриц над ним в классической математике. Другие важные для приложений примеры полуколец синтаксические полукольца, возникающие в алгебраической теории формальных языков, и полукольца бинарных отношений. К аддитивно идемпотентным полукольцам приводит целый ряд известных в алгебре конструкций; например, таковы полукольца подмножеств полугрупп (относительно операций объединения и умножения подмножеств), полукольца эндоморфизмов полурешеток (относительно поточечного сложения и композиции преобразований).
По определению аддитивно идемпотентные полукольца образуют многообразие, и потому естественно изучать их методами теории многообразий. Проблема конечности базиса тождеств и проблема строения решеток подмногообразий суть основные задачи этой теории; для «классических» алгебр (групп, колец, полугрупп, решеток) им посвящены многие сотни работ. Для аддитивно идемпотентных полуколец исследования в рамках этих двух задач начались в 2000-е годы и принесли ряд содержательных результатов. Мы планируем существенно продвинуться в обоих направлениях за счет использования некоторых свежих идей. Для этого намечен ряд конкретных подзадач.
Общая методология проекта состоит в следующем.
1. Фиксируется некоторый способ построения аддитивно идемпотентных полуколец из полугрупп определенного сорта (например, из инверсных полугрупп или из групп).
2. Изучаются связи между тождествами (в некоторых случаях – квазитождествами) исходных полугрупп и тождествами возникающих аддитивно идемпотентных полуколец.
3. На основе найденных связей классифицируются конечно и бесконечно базируемые аддитивно идемпотентные полукольца из построенных семейств и вычленяются интересные фрагменты решетки многообразий аддитивно идемпотентных полуколец.
На основе указанного подхода будут получены новые результаты о конечной базируемости и строении решеток подмногообразий для аддитивно идемпотентных полуколец из следующих семейств:
полукольца, у которых мультипликативная полугруппа комбинаторная периодическая инверсная полугруппа, а аддитивная полурешетка определяется естественным частичным порядком этой инверсной полугруппы;
- плоские расширения групп;
- полукольца подмножеств групп;
- полукольца, у которых мультипликативная полугруппа принадлежит одной из «канонических» серий J-тривиальных полугрупп (моноиды Каталана, полугруппы рефлексивных бинарных отношений, полугруппы унитреугольных булевых матриц).
Ожидается, что результаты проекта послужат существенным заделом для последующего полномасштабного проекта в области многообразий аддитивно идемпотентных полуколец. Такой проект будет нацелен на решение проблемы Тарского об алгоритмической характеризации конечных конечнобазируемых алгебр в этом классе полуколец и на классификацию многообразий аддитивно идемпотентных полуколец с модулярной решеткой подмногообразий.
Ожидаемые результаты:
1. Новые классы аддитивно идемпотентных полуколец без конечного базиса тождеств. А именно, предполагается доказать отсутствие конечного базиса тождеств у таких полуколец (S,+,•), что (S,•) – комбинаторная периодическая инверсная полугруппа, порождающее многообразие, содержащее 6-элементный моноид Брандта, а (S,+) – полурешетка относительно естественного частичного порядка полугруппы (S,•), и у плоских расширении нильпотентных неабелевых групп. Для получения этих результатов будет существенно расширен диапазон методов, используемых в теории многообразий аддитивно идемпотентных полуколец, что, по нашему мнению, имеет не меньшее значение, чем сами факты наличия или отсутствия конечного базиса тождеств для того или иного конкретные полукольца. Намечаемые продвижения позволят нащупать границу между конечно и бесконечно базируемыми многообразиями и приведут к постановке новых задач, например, задачи построения предельных (т.е. минимальных неконечнобазируемых) многообразий аддитивно идемпотентных полуколец.
2. Результаты о решеточных свойствах отображения, которое сопоставляет каждому многообразию комбинаторных периодических инверсных полугрупп V многообразие полуколец, порожденное такими полукольцами (S,+,•), что (S,•) – инверсная полугруппа из V, а (S,+) – полурешетка относительно естественного частичного порядка полугруппы (S,•), и о его инъективности, а также об образе отображения, которое сопоставляет каждому квазимногообразию групп Q многообразие полуколец, порожденное плоскими расширениями групп из Q. Эти результаты будут полезны для построения примеров многообразий аддитивно идемпотентных полуколец с немодулярной или континуальной решеткой подмногообразий и в перспективе позволят приблизиться к классификации многообразий аддитивно идемпотентных полуколец с конечной или модулярной решеткой подмногообразий.
3. Классификация специальных (нейтральных, стандартных, модулярных, сократимых и др.) элементов решетки многообразий аддитивно идемпотентных полуколец. Такие элементы отвечают за те или иные разложения решетки многообразий, и потому их классификация дает существенную информацию о строении решетки многообразий в целом.
