Пусть и - моноиды. Обозначим через решетку всех подмоноидов моноида . 1-решеточным изоморфизмом моноида на моноид называется всякий изоморфизм решетки на решетку . Говорят, что биекция моноида на моноид индуцирует 1-решеточный изоморфизм на , если для любого подмоноида . Моноид строго 1-решеточно определяется, если всякий его -решеточный изоморфизм на произвольный моноид индуцируется некоторым изоморфизмом или антиизоморфизмом. Похожие понятия группы, строго определяющейся решеткой подгрупп и полугруппы, строго определяющейся решеткой подполугрупп, давно привлекали внимание и активно изучались в классах групп и полугрупп. В случае моноидов здесь почти ничего не было известно. Однако около 40 лет назад был поставлен вопрос: будет ли произвольный моноид, разложимый в свободное произведение, строго 1-решеточно определяться? Получен исчерпывающий ответ на этот вопрос, а именно доказано, что произвольный моноид, нетривиальным образом разложимый в свободное произведение, строго 1-решеточно определяется. Этот результат перекликается с известными утверждениями о строгой решеточной определяемости как группы, нетривиальным образом разложимой в свободное произведение, так и полугруппы, разложимый в свободное произведение.
