Исследуется линейное операторное уравнение, не удовлетворяющее условиям корректности Адамара. Предполагается, что решение уравнения содержит различные свойства гладкости на различных участках области определения. А именно, решение представимо в виде суммы гладкой и разрывной компонент. Для построения устойчивого приближенного решения применяется метод регуляризации Тихонова. В этом методе стабилизатор есть сумма лебеговой нормы и сглаженной BV-нормы. Каждый из входящих в стабилизатор функциоалов зависит только от одной компоненты и учитывает ее свойства. Доказываются теоремы сходимости регуляризованных решений и их дискретных аппроксимаций. Устанавливается, что для нахождения дискретных регуляризованных решений могут быть применены метод Ньютона и нелинейные аналоги α-процессов.