Рассматривается некорректно поставленная задача в форме линейного операторного уравнения, заданного на паре банаховых пространств. Для устойчивой аппроксимации решения, представимого в виде суммы гладкой и разрывной компонент, используется модифицированный вариант метода Тихонова, в котором стабилизатор строится также в виде суммы лебеговой нормы и обобщённой вариации. Каждый из входящих в стабилизатор функционалов зависит только от одной компоненты и учитывает её свойства. Формулируются теоремы покомпонентной сходимости метода регуляризации и даётся обоснование в n-мерном случае общей схемы конечно-разностной аппроксимации для регуляризованного семейства приближённых решений.