В работе изучается неравенство ∥y′∥Lq(G)≤K(r,p,G)∥y∥1/2Lr(G)∥y′′∥1/2Lp(G) на вещественной оси G=R и периоде G=T для значений параметров q∈[1,∞), r∈(0,∞], p∈[1,∞], 1/r+1/p=2/q. Доказано, что точная константа K(r,p,R) равна точной константе K1 в неравенстве ∥u′∥Lq[0,1]≤K1∥u∥1/2Lr[0,1]∥u′′∥1/2Lp[0,1] по множеству выпуклых на [0,1] функций u, имеющих абсолютно непрерывную производную и удовлетворяющих условию u′(0)=u(1)=0. Как следствие этого утверждения равенство K(r,p,R)=K(r,p,T), установленное в 2003 г. В.Ф. Бабенко, В.А. Кофановым и С.А. Пичуговым для r≥1, распространено на r≥1/2. Также для p=1, r∈[1,∞) получено новое доказательство равенства K(r,1,R)=(r+1)1/(2(r+1)) q=2r/(r+1), установленного в 1975 г. В.В. Арестовым и В.И. Бердышевым.