Основным объектом исследования являются полугруппы операторов, соответствующие стохастическим процессам Леви. Изучена связь рассматриваемых полугрупп с псевдодифференциальными операторами (ΨD-операторами). На основе техники ΨD-операторов показано, что генераторы полугрупп являются операторами с ядрами, принадлежащими пространству медленно растущих распределений. Построена классификация задач Коши для уравнений с операторами из специального подкласса ΨD-операторов с полиномиально ограниченными символами. Построенная классификация является расширением классификации Гельфанда - Шилова для дифференциальных систем. В расширенной классификации задачи Коши с генераторами, отвечающими процессам Леви, являются корректными по Петровскому.