В банаховом пространстве заданы линейный плотно определенный оператор A и некоторая замкнутая область G¯¯¯, лежащая в его регулярном множестве и содержащая неположительную вещественную полуось. Предполагается известной степенная оценка нормы резольвенты этого оператора в данной области G. В предположении замкнутости операторов euA при u>0, заданных степенными операторными рядами, вводятся и изучаются два класса функций этих операторов, построенных на базе интегральной формулы Коши по соответствующим скалярным аналитическим в дополнении G функциям, модули которых имеют показательную оценку в дополнении G. Если оператор A удовлетворяет наложенным в статье ограничениям, то классы функций от A являются расширениями соответствующих классов операторных функций, изучаемых совместно Л.Ф. Коркиной и автором ранее. Установлено мультипликативное свойство исследуемых в статье функций от оператора. Рассмотрен вопрос об их обратимости.