Проект направлен на расширение исследований в нескольких актуальных, принципиальных областях теории приближения функций и операторов в пространствах Лебега и более общих пространствах, преддуальных для пространства мультипликаторов, функций одного и нескольких вещественных переменных и пространствах аналитических функций также одного и нескольких комплексных переменных. Оптимальное восстановление значений неограниченных операторов, включая операторы дифференцирования, по различного рода неточной информации о функциях, такой как приближенно заданные значения функций, их преобразования Фурье, значения аналитических функций на подмножестве границы; вычисление модуля непрерывности операторов, в частности, точные одномерные и многомерные неравенства типа неравенств Колмогорова для дифференцируемых функций и теоремы о двух константах для аналитических функций; приближение неограниченных операторов ограниченными; экстремальные задачи для алгебраических и тригонометрических полиномов, целых функций.
Заявленная в проекте научная проблематика является важной и трудной классической областью математики. Она имеет большое значение как для внутреннего развития теории (теории приближения функций, гармонического анализа, теории аналитических функций), так и для применений в различных разделах математики и ее приложений. Спецификой данного проекта является расширение классов рассматриваемых функциональных пространств, расширение постановок задач, разработка новых методов, построение оптимальных (наилучших, точных) решений.
Планируемые для исследования задачи оптимального восстановления и наилучшего приближения неограниченных операторов ограниченными, точные неравенства типа неравенств Колмогорова и Адамара как в классических пространствах Лебега функций одного и нескольких переменных, так и в пространствах, преддуальных для пространств мультипликаторов, пространствах аналитических функций одного и многих комплексных переменных возникают во многих разделах математики и их приложениях.
Задача Чебышева о многочленах, наименее уклоняющихся от нуля на компактах комплексной плоскости, точные неравенства Маркова - Бернштейна для алгебраических и тригонометрических многочленов имеют большую историю и важны для различных областей математики и науки в целом. К примеру, задача Чебышева на компактах комплексной плоскости изучается, начиная с середины восемнадцатого века. Она связана с геометрическими характеристиками компакта; важна для вычислительной математики и теории функций. Неравенства Бернштейна, Сеге и Бернштейна - Сеге для тригонометрических полиномов в пространствах $L^p$, $1\le p\le \infty,$ довольно хорошо изучены; участники данного проекта имеют существенные результаты в этой тематике в пространствах $L^p$ при $0\le p<1.$ Однако в этой тематике существует ряд нерешенных проблем даже для тригонометрических полиномов, тем более, для целых функций; в частности, неизвестно неравенство Сеге при $0\le p<1.$
Ожидаемые результаты:
Запланировано построение оптимального метода восстановления функционала, сопоставляющего значениям на подмножестве границы аналитической в области функции многих переменных ее значение в точке области; будут рассмотрены различные области (в частности, поликруг, шар и трубчатая область над конусом), различные классы функций и подмножества границы разных размерностей; в ряде случаев будет получено точное решение задач. Планируется распространить полученные результаты на случай оптимального восстановления оператора, сопоставляющего значениям на подмножестве границы аналитической в области функции ее сужение на подмножество области.
Запланировано построение оптимальных методов восстановления значений неограниченных операторов, в частности, операторов дифференцирования, по неточной информации в задании функций, их преобразовании Фурье, иной приближенной информации, вычисление модуля непрерывности оператора, исследование родственных задач наилучшего приближения неограниченных операторов ограниченными. Построение преддуального пространства $F_{r,s}$ для пространства мультипликаторов пары пространств Лебега $L^r=L^r(R^m)$ и $ L^s$, отличного от пространства Фига-Таламанки, удобного в тематике приближения неограниченных операторов типа свертки ограниченными операторами в пространствах Лебега. Применение этого результата в задачах восстановления и наилучшего приближения операторов дифференцирования. В частности, исследование задачи наилучшего равномерного приближения на оси оператора дифференцирования порядка $k$ в пространстве Лебега на классе функций с ограниченной производной порядка $n (0Будет проведено исследование ряда экстремальных задач для алгебраических многочленов на компактах комплексной плоскости и целых функций; в том числе, исследование задачи Чебышева о многочленах, наименее уклоняющихся от нуля, неравенства Маркова для алгебраических многочленов, не обращающихся в нуль в области; точного неравенства Бернштейна - Сеге для операторов Сеге - Вейля для целых функций в пространствах $L^p, 0\le p\le \infty$.
Предполагаемая работа носит теоретический характер. Будут получены решения актуальных задач, планируемые результаты могут послужить серьезным толчком для дальнейшего развития новых направлений теории.