Проект направлен на разработку методов численного решения начально-краевых задач для уравнений с дробными частными производными и нелинейным функциональным запаздыванием по времени. Такие задачи возникают, например, при моделировании биологических процессов с наследственностью. В рамках проекта будут разработаны новые эффективные подходы к численному анализу дробных по пространству, в том числе мномерных, и дробных по времени уравнений с постоянным, переменным или распределенным запаздыванием. Предполагается создание комбинации многочисленных подходов дробных аппроксимаций и применяемого ранее авторами проекта позиционной методики численного решения уравнений в частных производных с наследственностью для конструирования эффективных методов. Будут разработаны аналоги метода конечных элементов и спектральных методов Галеркина для уравнений в частных производных дробного порядка в ограниченной и неограниченной пространственной области с эффектом наследственности по времени. Разработанные новые математические методы, алгоритмы и комплексы программ будут применены для решения ряда важных прикладных задач физики, иммунологии и физиологии, а также теории управления.
Ожидаемые результаты:
В проекте будут сконструированы и исследованы численные методы решения математических моделей, содержащих эффекты наследственности, обусловленные дробным дифференцированием и нелинейным запаздыванием по времени. Для дробно-диффузионных уравнений с запаздыванием по времени предполагается разработать разностные схемы высокого порядка точности, исследовать их устойчивость и получить условия их сходимости с различными порядками. Для дробных диффузионно-волновых уравнений с запаздыванием по времени предполагается разработать разностные схемы высокого порядка точности, исследовать их устойчивость и получить условия их сходимости . Для дробных уравнений с дрейфом и с эффектом запаздывания предполагается разработать явные и неявные схемы высоких порядков, исследовать их устойчивость, доказать их сходимость в рамках общей схемы численного решения эволюционных уравнений с наследственностью. Предполагается разработать аналог метода конечных элементов для уравнений в частных производных дробного порядка в ограниченной и неограниченной пространственной области с эффектом наследственности по времени. Предполагается разработать алгоритмы стабилизации и управления по принципу обратной связи линейными системами с эффектом запаздывания. Предполагается разработать аналоги спектральных методов Галеркинского типа для уравнений дробной диффузии с нелокальными граничными значениями и эффектом запаздывания. Предполагается применить разработанные алгоритмы к ряду задач моделирования в физике, иммунологии, физиологии и теории популяций, вводя в модели дробные производные (активные среды) и эффекты наследственности.
Значимость результатов предлагаемого проекта обусловлена тем, что полученные результаты позволят существенно развить теорию нелокальных разностных схем, приложения дробного исчисления и уравнений с наследственностью. Здесь следует отметить, что для дробных дифференциальных уравнений с эффектом наследственности, даже в линейных случаях, невозможно получить аналитические решения. Поэтому разработка эффективных численных методов приобретает роль приоритетной задачи. Запланированные результаты полностью соответствуют мировому уровню исследований, а по некоторой части являются опережающими.
