Проект посвящён одному из наиболее актуальных направлений современной математики – исследованию и решению задач, возникающих при моделировании различных процессов в условиях недостатка информации. Исследование задач в условиях недостатка информации, в частности стохастической неопределенности, актуально для моделирования важных процессов, возникающих в экономике, популяционной динамике, экологии и социальных явлениях. Математический аппарат учета случайных факторов позволяет указать ожидаемые значения этих процессов и получить наиболее вероятный коридор их разброса.
К настоящему времени основная масса исследований здесь сосредоточена в области регуляризации некорректных детерминированных задач (конечномерных и бесконечномерных) и в области конечномерных стохастических задач, для которых можно выделить два подхода: во-первых, решение задач в интегральной форме со стохастическими интегралами Ито по винеровским, пуассоновским и более общим процессам типа Леви, во-вторых, решение задач в дифференциальной форме в пространствах специально построенных обобщенных функций по случайной и временной переменным. Бесконечномерные стохастические задачи значительно менее исследованы; в основном это развитие интегрального подхода на случай дифференциально-операторных уравнений первого порядка с генераторами полугрупп класса С0.
Наш проект нацелен на исследование и построение решений для значительно более широкого класса задач, большая часть которых может быть представлена в форме задач Коши для уравнений вида
(1) X'(t)=AX(t)+ G(t, X),
где A – генератор, в общем случае, регуляризованной полугруппы операторов в гильбертовом пространстве, G – отображение, отражающее внешнее воздействие на моделируемую систему, позволяющее описывать непрерывные и скачкообразные случайные возмущения.
Такие задачи некорректны даже в случае отсутствия внешних воздействий, что обусловлено поведением оператора А, не порождающего полугруппу класса C0. Принципиально новым является тот факт, что регуляризация задачи будет осуществляться не только на основе регуляризованных полугрупп операторов (такую регуляризацию мы называем регуляризацией в широком смысле), но и на основе регуляризующих операторов, позволяющих строить приближенные решения при начальных данных, заданных с погрешностью. Кроме того, при наличии внешних стохастических воздействий, особенно нелинейных, возникают требующие решения значительные дополнительные сложности, связанные с нерегулярностью случайных процессов, с их трактовкой в бесконечномерных пространствах и определением умножения в пространствах обобщенных функций.
Основные направления на пути решения поставленных задач следующие:
- применение регуляризованных полугрупп операторов к построению регуляризованных решений стохастических задач;
- применение регуляризующих операторов к построению приближенных решений стохастических задач с исходными данными, заданными с погрешностью;
- конструкция бесконечномерных процессов Леви, изучение их свойств и использование при построении сильных, слабых, мягких, регуляризованных и обобщенных решений бесконечномерных стохастических задач;
- исследование связи бесконечномерных стохастических задач Коши с детерминированными псевдо-дифференциальными уравнениями для вероятностных характеристик решений стохастических задач.
Проект лежит на стыке нескольких математических дисциплин. Владение части исполнителей проекта широким спектром различных методов – методов теории полугрупп операторов, теории обобщенных функций, некорректных и стохастических задач, и нацеленность других является залогом успешной реализации проекта.
Ожидаемые результаты:
1)В зависимости от условий, диктуемых различными конкретными моделями (характер полугруппы, порождаемой оператором A, характер случайных возмущений), будут построены разные типы решений стохастической задачи Коши для уравнения (1) и соответствующего интегрального уравнения со стохастическим интегралом по процессу Леви – сильные, слабые, мягкие, обобщенные, регуляризованные в широком смысле и приближенные решения.
2)Будут получены детерминированные уравнения для вероятностных характеристик решений стохастических уравнений со случайными возмущениями, являющимися процессами Леви в бесконечномерных пространствах.
3)В качестве приложений изучаемых методов решения бесконечномерных стохастических задач будут построены и решены:
- бесконечномерное стохастическое уравнение (1), описывающее цену бондов (облигаций) с отображением G(t, X), отражающим влияние рынка, и оператором A – генератором полугруппы правых сдвигов: AX(t, s)=∂X(t, s)/∂s, действующим на цену X(t, s) облигации в момент времени t, где s – время до момента погашения облигации;
- бесконечномерное стохастическое уравнение (1), описывающее модели, позволяющие оценить загрязнение окружающей среды, конкретно, модели, идентифицирующие вредные случайные выбросы, описываемые стохастическими уравнениями диффузии.
Научная новизна и значимость задач, решаемых в рамках проекта, состоит в следующем.
Во-первых, стохастическая задача ставится и решается с более общими операторами A, отражающими реальные процессы, и бесконечномерными процессами Леви. Такие задачи, с одной стороны, требуют обобщенных решений по временной и пространственным переменным, с другой – регуляризованных решений, в том числе построенных на основе регуляризующих алгоритмов для задач с приближенными исходными данными. Регуляризующие алгоритмы для поставленных стохастических задач ранее не рассматривались.
Во-вторых, исследуется связь стохастической задачи с детерминированными задачами для вероятностных характеристик случайных процессов. Применение полугруппового подхода для исследования этих связей – это эффективное направление научных исследований последнего времени, новое для нас и для исследований в нашей стране.